17世纪,人们开始对模态有所认识。1733年丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)在研究垂直悬挂细线振动时发现存在不同的模态,1742年对振动杆的实验中发现振动为不同模态的叠加[1]。1747年,欧 拉(L. Euler)研究相同弹簧水平连接相同$n$个质点的纵向振动时,不仅精确地求出了$n$个模态,而且证明每个质点的振动是这些模态振动的叠 加[2]。经过拉格朗日(J.L. Lagrange)[3]、瑞利(J.W.S. Rayleigh)[4]、开尔文(T.W. Kelvin)和台特(P.G. Tait)[5]的发展和应用,模态概念成熟完善,成为多自由度振动分析的基础,也是国内外振动教材中[6-10]的重要内容。虽然模态概念是解耦多自由度系统或连续系统的基础,但在教学中往往着重介绍模态分析法,对模态概念没有重点阐述,因此学生缺乏对模态概念的透彻理解。这样,面对模态概念的进一步发展,如复模态和非线性模态,尤其觉得困惑。本文较为详细地解释了模态概念的基本属性,分析了模态概念发展为复模态概念和非线性模态概念时保留或舍弃了模态的哪些属性。这将有助于模态概念的教学,教师可以从更广泛的角度深入理解模态,从而帮助学生全面掌握模态概念。以下讨论主要是针对离散振动系统,连续振动系统基本上也有平行的结论。
1 固有模态
模态是系统的一种特征振动性态,系统中各广义坐标以相同的频率振动。因此,模态由模态频率和模态振型两个基本量刻画,模态频率为系统呈现单频振动时的频率,模态振型为各广义坐标同频振动时最大位移的相对关系。模态振型简称为振型,也称为主振型,有些文献中称为模态或主模态。线性离散振动系统存在的模态个数为其自由度数,线性连续振动系统存在着无穷多个模态。模态是线性系统的固有特性,取决于系统的质量、刚度和阻尼等因素,与激励无关,可以在实验中进行测量和辨识。
最初对模态的研究,不仅局限于线性系统,而且忽略了阻尼因素,即为无阻尼线性振动系统。振动系统的特性由质量矩阵$M$和刚度矩阵$K$决定。对于$n$自由度系统,振动方程为
(1) $\begin{equation} \label{eq1} {M\ddot{{x}}+Kx}={\bf0} \end{equation}$
其中$x$为广义坐标构成的$n\times 1$列阵,$n\times n$质量矩阵$M$和刚度矩阵$K$为对称矩阵。模态可以由广义特征值问题求解。特征值为实数,就是固有频率,而特征向量就是模态振型。这种振型不随时间变化,在所讨论的离散振动系统可以用常向量表示。从能量角度考虑,每个模态上机械能守恒,模态之间没有能量交换。这个物理事实的数学表述就是模态振型关于质量和刚度矩阵的正交性。
系统各广义坐标以相同的频率振动,意味着运动具有一致性或同频性。模态的出现依赖于激励,特定初值条件符合某个模态振型时,自由振动就以该模态频率振动。这意味着初值在某个模态上时后续的运动都在该模态上,即模态上的运动具有不变性。如前所述,模态之间彼此独立,不发生能量转移,模态振型彼此正交。在一般初值激励下,线性系统的自由振动是各模态振动的叠加。这种同频性、不变性、正交性和叠加性是模态的基本属性。
2 从实模态到复模态
当系统存在大范围整体运动对局部振动影响时,有陀螺效应,振动方程中含有相应的陀螺项。$n$自由度离散陀螺系统的振动方程为
(2) $\begin{equation} \label{eq2} {M\ddot{{x}}+G\dot{{x}}+Kx}={\bf 0} \end{equation}$
其中$x$为广义坐标构成的$n\times 1$列阵,$n\times n$质量矩阵$M$和刚度矩阵$K$为对称矩阵,陀螺矩阵$G$为反对称矩阵。陀螺矩阵与广义速度列阵的乘积为陀螺项。在连续振动系统情形,陀螺项是对时间一阶和对空间坐标奇数阶的混合偏导数项。Meirovitch[11]发展了陀螺系统的模态分析方法。由广义速度和广义坐标构成状态变量,把方程(2)改写为状态空间的形式
(3) $\begin{equation} \label{eq3} \left( {{\begin{array}{*{20}c} {{\bf 0}} & {{M}} \\ {{M}} & {{G}} \\ \end{array} }} \right)\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {{\ddot{{x}}}} \\ {{\dot{{x}}}} \\ \end{array} }} \right\}+\left( {{\begin{array}{*{20}c} {-{M}} & {{\bf 0}} \\ {{\bf 0}} & {{K}} \\ \end{array} }} \right)\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {{\dot{{x}}}} \\ {{x}} \\ \end{array} }} \right\}={\bf 0} \end{equation}$
由此求解广义特征值问题。所得到的特征值为成对出现的2$n$个纯虚数,$n$个虚部系数即是振动系统的频率;特征向量为$2n\times 1$复数列阵。对应于广义坐标的特征向量中第$n+1$行到2$n$行构成的$n\times 1$复数列阵称为陀螺模态振型。陀螺模态振型为复数。陀螺振动系统仍存在模态频率,系统自由振动为各模态频率振动的叠加,模态频率 振动仍是简谐振动。但由于陀螺效应,没有前述经典模态意义上独立于时间的振型。
需要考虑阻尼时,振动方程中增加了阻尼项。$n$自由度离散阻尼系统的振动方程为
(4) $\begin{equation} \label{eq4} {M\ddot{{x}}+C\dot{{x}}+Kx}={\bf 0} \end{equation}$
其中$x$为广义坐标构成的$n\times 1$列阵,$n\times n$质量矩阵$M$、阻尼矩阵$C$和刚度矩阵$K$为对称矩阵。阻尼矩阵与广义速度列阵的乘积为阻尼项。在连续振动系统情形,陀螺项是对时间一阶和对空间坐标偶数阶的混合 偏导数项。Foss[12]给出一般黏性阻尼系统解耦的方法。由广义速度和广义坐标构成状态变量,把方程(4)改写为状态空间的形式
(5) $\begin{equation} \label{eq5} \left( {{\begin{array}{*{20}c} {{\bf 0}} & {{M}} \\ {{M}} & {{C}} \\ \end{array} }} \right)\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {{\ddot{{x}}}} \\ {{\dot{{x}}}} \\ \end{array} }} \right\}+\left( {{\begin{array}{*{20}c} {-{M}} & {{\bf 0}} \\ {{\bf 0}} & {{K}} \\ \end{array} }} \right)\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {{\dot{{x}}}} \\ {{x}} \\ \end{array} }} \right\}={\bf 0} \end{equation}$
由此求解广义特征值问题。与陀螺系统不同,所得到的特征值为成对出现的2$n$个复数。$n$个虚部系数为振动系统的阻尼频率,$n$个实部系数为振动系统的衰减系数。阻尼频率不是数学意义上的频率,即振动在单位时间重复发生的次数,而是振动在单位时间通过平衡点或达到最大值次数,因为模态振动在数学意义上已经不是周期运动,但仍是具有等时性的往复运动。与陀螺系统类似,特征向量为$2n\times 1$复数列阵。对应于广义坐标的特征向量中第$n+$1行到2$n$行构成的$n\times 1$复数列阵称为阻尼模态振型。阻尼模态振型为复数。阻尼振动系统仍存在模态频率,系统自由振动为各模态振动的叠加,模态振动不再是简谐振动而是衰减振动。除了比例阻尼等特殊情形[13],阻尼模态振型不是前述经典模态意义上独立于时间的振型。
陀螺模态和阻尼模态的共同之处是模态振型为复数,两者统称为复模态。复模态仍有频率的等时性,系统以单一频率运动,即作模态振动;正交性和叠加性都需要在状态空间中建立;一般不具有不变性。陀螺或阻尼振动系统的复模态仍有模态频率的概念,但没有保守振动系统那种具有不变性的模态振型。复模态频率和复模态振型都是阻尼或陀螺系统客观的固有振动性质,取决于系统的质量、刚度和阻尼等因素,可以由实验进行测量和识别。
复模态振型与实模态振型既有相似之处,也有不同之处。两者都具有正交性,但复模态振型的正交性需要在状态空间中定义,不存在实模态振型那种在位形空间中定义的正交性。因此,应用复模态正交性进行解耦时,要在状态空间中进行。不论是复模态还是实模态,系统响应均为模态振动的叠加,但复模态分析中的叠加要在状态空间中进行。有一般阻尼或陀螺效应时,系统各广义坐标的模态振动同频但存在相位差,通常不同时取极值,也不同时通过平衡位置。因此,复模态没有反映各广义坐标上取极值时的相对大小意义上的振型,一般也没有固定不变的节点。在连续系统的情形,振动由行波而不是驻波所产生。
复模态保持了实模态的同频性,但不具有实模态的不变性,正交性和叠加性都需要在状态空间中建立。因此,复模态并非经典意义上的模态,是独立的概念,不能望文生义地理解为用复数表示的模态。
3 从线性模态到非线性模态
非线性模态是推广模态概念到非线性振动系统的尝试。描述在特定条件下,系统响应所包含的单频成分。为突出区别,线性振动系统的模态称为线性模态。早期的非线性模态着重刻画系统各广义坐标同频运动的同频性,本质上是固有模态对非线性系统的推广。随后的非线性模态定义为状态空间中的不变流形。非线性系统仍保留着同频性或不变性,但通常没有正交性和叠加性。
非线性模态的概念最初由Rosenberg在1966年提出[14]。针对无阻尼非线性振动系统,他将非线性模态定义为系统的同频或一致运动,系统各广义坐标同时达到极值和同时通过平衡位置;若各广义位移之间存在线性关系,则称之为相似非线性模态;否则即为非相似非线性模态。这种定义有内在局限性,仅限于无阻尼系统,而且在有内共振情形系统可能出现快慢运动破坏了非线性模态所要求的一致性。1991年,Shaw等[15]提出了阻尼非线性系统的非线性模态,把相空间的不变流形定义为非线性模态,这样初始位移和速度符合某一非线性模态或在该其吸引盆内,随后系统就按该非线性模态运动。
非线性模态具有若干基本性质。第一,振动频率依赖于激励幅值。即使系统做同频周期运动,其频率也与初始激励或初始能量有关。第二,在线性派生系统的固有频率有理通约时,非线性模态间仍可能存在内共振使得模态间有能量交换。第三,非线性模态的数目和稳定性可能随着系统参数变化,也可能随着系统能量变化,即与运动幅值有关。非线性模态的数目可能多于系统自由度数,存在不稳定的非线性模态。从这些性质可见,非线性模态与线性模态有显著的差别。因此,非线性模态不是经典意义上的模态,是独立的概念,不能简单理解为是非线性系统中的模态。
与实模态和复模态都由线性代数的广义特征值问题导出不同,非线性模态需要用解析方法或近似解析方法确定[16]。解析方法有基于能量分析的方法,但应用过程中需要某种对称性,目前只适用于奇数阶非线性项的情形;还有不变流形方法,其中用到幂级数展开,通常只适用于运动幅值较小的情形。近似解析方法有多尺度法,适用于非线性较弱的情形;还有谐波平衡法,可应用于强非线性的情形,但尽管可以进行符号运算,分析自由度数较大的系统仍很复杂。非线性模态也可以用数值方法进行计算。
虽然非线性模态的应用因叠加原理不成立而受到限制,非线性模态仍可望成为分析特定非线性振动系统的一种工具[17-18]。
4 总结
经典的模态(也称实模态或线性模态)具有模态振动的各自由度同频性、对初始条件的不变性、模态间不传递能量的正交性和系统响应为模态 动的叠加性。复模态仍具有模态振动的各自由度同频性,但不具备对初始条件的不变性,在状态空间中才具有模态间不传递能量的正交性和系统响应为模态振动的叠加性。非线性模态通常不具有正交性和叠加性,最初的无阻尼非线性模态保留同频性而不要求不变性,后来的阻尼非线性模态保留不变性而不要求同频性。
责任编辑: 胡漫
致谢
北京理工大学胡海岩院士对本文提出修改建议,在此致谢！
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The Theory of Sound (Vols. 1 & 2)
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Fundamentals of Vibrations
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... 17世纪,人们开始对模态有所认识.1733年丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)在研究垂直悬挂细线振动时发现存在不同的模态,1742年对振动杆的实验中发现振动为不同模态的叠加[1].1747年,欧 拉(L. Euler)研究相同弹簧水平连接相同$n$个质点的纵向振动时,不仅精确地求出了$n$个模态,而且证明每个质点的振动是这些模态振动的叠 加[2].经过拉格朗日(J.L. Lagrange)[3]、瑞利(J.W.S. Rayleigh)[4]、开尔文(T.W. Kelvin)和台特(P.G. Tait)[5]的发展和应用,模态概念成熟完善,成为多自由度振动分析的基础,也是国内外振动教材中[6-10]的重要内容.虽然模态概念是解耦多自由度系统或连续系统的基础,但在教学中往往着重介绍模态分析法,对模态概念没有重点阐述,因此学生缺乏对模态概念的透彻理解.这样,面对模态概念的进一步发展,如复模态和非线性模态,尤其觉得困惑.本文较为详细地解释了模态概念的基本属性,分析了模态概念发展为复模态概念和非线性模态概念时保留或舍弃了模态的哪些属性.这将有助于模态概念的教学,教师可以从更广泛的角度深入理解模态,从而帮助学生全面掌握模态概念.以下讨论主要是针对离散振动系统,连续振动系统基本上也有平行的结论. ...
Mechanical and Structural Vibrations: Theory and Applications
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... 其中$x$为广义坐标构成的$n\times 1$列阵,$n\times n$质量矩阵$M$和刚度矩阵$K$为对称矩阵,陀螺矩阵$G$为反对称矩阵.陀螺矩阵与广义速度列阵的乘积为陀螺项.在连续振动系统情形,陀螺项是对时间一阶和对空间坐标奇数阶的混合偏导数项.Meirovitch[11]发展了陀螺系统的模态分析方法.由广义速度和广义坐标构成状态变量,把方程(2)改写为状态空间的形式 ...
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... 其中$x$为广义坐标构成的$n\times 1$列阵,$n\times n$质量矩阵$M$、阻尼矩阵$C$和刚度矩阵$K$为对称矩阵.阻尼矩阵与广义速度列阵的乘积为阻尼项.在连续振动系统情形,陀螺项是对时间一阶和对空间坐标偶数阶的混合 偏导数项.Foss[12]给出一般黏性阻尼系统解耦的方法.由广义速度和广义坐标构成状态变量,把方程(4)改写为状态空间的形式 ...
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Non-linear normal modes and invariant manifolds
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1991
... 非线性模态的概念最初由Rosenberg在1966年提出[14].针对无阻尼非线性振动系统,他将非线性模态定义为系统的同频或一致运动,系统各广义坐标同时达到极值和同时通过平衡位置;若各广义位移之间存在线性关系,则称之为相似非线性模态;否则即为非相似非线性模态.这种定义有内在局限性,仅限于无阻尼系统,而且在有内共振情形系统可能出现快慢运动破坏了非线性模态所要求的一致性.1991年,Shaw等[15]提出了阻尼非线性系统的非线性模态,把相空间的不变流形定义为非线性模态,这样初始位移和速度符合某一非线性模态或在该其吸引盆内,随后系统就按该非线性模态运动. ...
Modal Analysis of Nonlinear Mechanical Systems
1
2014
... 与实模态和复模态都由线性代数的广义特征值问题导出不同,非线性模态需要用解析方法或近似解析方法确定[16].解析方法有基于能量分析的方法,但应用过程中需要某种对称性,目前只适用于奇数阶非线性项的情形;还有不变流形方法,其中用到幂级数展开,通常只适用于运动幅值较小的情形.近似解析方法有多尺度法,适用于非线性较弱的情形;还有谐波平衡法,可应用于强非线性的情形,但尽管可以进行符号运算,分析自由度数较大的系统仍很复杂.非线性模态也可以用数值方法进行计算. ...
Normal Modes and Localization in Nonlinear Systems
1
1996
... 虽然非线性模态的应用因叠加原理不成立而受到限制,非线性模态仍可望成为分析特定非线性振动系统的一种工具[17-18]. ...
Nonlinear Vibration with Control, 2nd edn
1
2015
... 虽然非线性模态的应用因叠加原理不成立而受到限制,非线性模态仍可望成为分析特定非线性振动系统的一种工具[17-18]. ...